Å teste for koronaviruset gir en bedre oversikt på smittespredning. Hva kan matematiske modeller fortelle oss om hvordan viruset sprer seg?
Å teste for koronaviruset gir en bedre oversikt på smittespredning. Hva kan matematiske modeller fortelle oss om hvordan viruset sprer seg?

Tiltak mot smittespredning:
Stol på matematikken, ikke magefølelsen

POPULÆRVITENSKAP: Hvordan kan vi vite om de ulike tiltakene mot smitte har effekt? Her må vi ha tiltro til solide matematiske modeller, selv om det kanskje strider imot magefølelsen.

Publisert

I Debatten på NRK tirsdag 17. mars argumenterte forsker Gunhild Alvik Nyborg for full isolasjon fordi koronaviruset sprer seg eksponentielt. Dette vakte sterke reaksjoner.

Tallene fra Folkehelseinstituttet (FHI) tyder ikke på at viruset spres eksponentielt, og for uken som fulgte kan vi vel si at veksten var stabil, altså lineær.

Men er det modellen Nyborg refererte til eller tallene fra FHI som ikke stemmer, og kan vi stole på at dataene gir et realistisk bilde av epidemien?

Hva er egentlig eksponentiell vekst?

Hva er eksponentiell vekst og hvorfor snakker vi om dette i forbindelse med spredning av sykdommer?

Figuren nedenfor viser eksempler på en sykdom som smitter i snitt to eller tre personer. Etter fem generasjoner vil smittespredning fra én person ha ført til smitte av henholdsvis 63 og 364 personer.

Illustrasjon av hvordan antall smittede vil vokse dersom hver person smitter i snitt 2 eller 3 friske. En slik sykdom sies å ha et reproduksjonstall,R0, på henholdsvis 2 og 3.
Illustrasjon av hvordan antall smittede vil vokse dersom hver person smitter i snitt 2 eller 3 friske. En slik sykdom sies å ha et reproduksjonstall,R0, på henholdsvis 2 og 3.

Det var den engelske presten og demografen Thomas Malthus som først pekte på at populasjoner av mennesker ved uhemmet kontakt ville vokse «geometrisk». Hans store bekymring var at kontakt mellom folk førte til forplantning, og at mattilgangen til samme populasjon ville kun øke proporsjonalt, «A slight acquaintance with numbers will show the immensity of the first power in comparison of the second». Resultatet av en slik vekst ville ende med sult, kriger og epidemier.

Ved sykdom blir folk friske (eller i verste fall dør), slik at antall smittede mennesker etter n dager blir betydelig mindre. Den eksponentielle modellen er imdlertid kun en modell for vekst i populasjonen, og andre viktige mekanismer for spredning overses. Den er derfor ikke en god modell for modellering av reelle populasjoner fordi verken menneskers reproduksjon eller virusets spredning vil i praksis være uhemmet.

Matematiske modeller til hjelp for hjernen

Men hvordan kan vi vite om ulike tiltak mot smitte har effekt? Er kuren tøffere enn sykdommen? Og bestemmer vi dette ut fra magefølelsen, eller finnes det andre måter å finne ut av dette på? Dette er kompliserte spørsmål som er vanskelig å svare på, og da kommer tvil og frykt. Én måte å hjelpe hjernen på er å formulere problemet i matematiske modeller.

De mest populære modellene som blir brukt i epidemiologien er såkalte «compartment models». På norsk kan vi kalle dem miksetankmodeller. Miksetankmodeller antar at innenfor en populasjon har alle mennesker lik sannsynlighet for å møtes og bli smittet. Antagelsen er smart fordi man slipper å modellere hver enkelt person, og modellen kan løses på få sekunder.

Andre fordeler er at man kan få relativt brukbare estimater uten for mye informasjon, og de kan brukes på grov skala. Eksempelvis med hele Norge som miksetank. Det er noe mer rimelig er å anta at hver kommune er en miksetank, med mulighet for at personer kan reise mellom kommunene. Det er en slik modell Folkehelseinstituttet benytter, der daglige data fra mobiltelefoner brukes for å estimere forflytning mellom miksetankene.

Fungerer slike enkle modeller?

Dette kan vi lære av et tenkt zombieutbrudd

Ingeniørstudenter på Universitetet i Stavanger lærer om hvordan man kan bruke matematiske modeller til studere ulike scenarioer og effekter av drastiske tiltak. Modellene kan gi beslutningsstøtte til forvaltning og politikere.

I fjor fikk studentene to prosjekter som omhandlet spredning av smittsomme sykdommer. Først skulle de modellere et zombieutbrudd ved å studere hva som ville skje i lokalsamfunnene Sokndal og Dirdal dersom én person i hvert lokalsamfunn var smittet med et zombievirus.

Skjebnen til Sokndal og Dirdal var helt avhengig av hvor tidlig man oppdaget zombien og gjorde nødvendige tiltak. For Dirdal og Sokndal tok dette henholdsvis 72 og 48 timer. Forskjellen var at Dirdal kommune var «mer tolerant for uortodoks oppførsel», slik at det tok lengre tid før man klarte å skille zombien fra andre innbyggere.

I Sokndal overlevde derfor cirka 70 prosent av befolkningen, mens i Dirdal kun 10 prosent.

For å demonstrere relevans, bruke studentene de samme miksetankmodellene for å studere ebola-utbruddet i Vest-Afrika. Ved å tilpasse modellene til observerte smittedata fra WHO sine nettsider, var det mulig å estimere hvordan reproduksjonstallet endret seg over tid og man var i stand til å få en veldig god overensstemmelse mellom modell og observert antall smittede i Liberia, Guinea og Sierra Leone.

Ulike tiltak kan studeres med modeller

Miksetankmodellenes enkelhet blir en akilleshæl når man skal studere effekten av ulike tiltak fordi mange tiltak kan ikke modelleres eksplisitt. I det neste prosjektet lot vi studentene modellere bevegelsen til enkeltmennesker og zombier, ved å bruke Monte Carlo-modeller. Dette er en klasse modeller som benytter seg av tilfeldige tall for blant annet å representere at mennesker kan ta ulike valg.

Mennesker og zombier beveget seg tilfeldig rundt. Hver gang et menneske støter på en zombie var det en sannsynlighet for smitte, som illustrert i figuren under.

En smittet (zombie) i en populasjon på 683 mennesker (Dirdal). Hver gang et menneske støter på en zombie, trekker man et tilfeldig tall mellom 0 og 1, hvis dette tallet er mindre enn 0.9 så blir man smittet. Hvis tallet er større enn 0.9 så blir zombien drept.

Hvis mennesket ikke ble smittet, antok vi at zombien ble drept. I denne modellen kan man studere ulike tiltak, for eksempel at menneskene som overlevde et zombieangrep ble flinkere til å overleve ved neste trefning. Da får man situasjonen som er vist i figuren nedenfor.

Samme som 1, men hvis et menneske overlever så synker sannsynligheten med 50% for at mennesket blir smittet ved neste zombie møte. Man ender da opp med en gjeng «supermennesker» som tar livet av alle zombiene.

Den nederste figuren viser en simulering der det er introdusert vegger for å representere effekten av karantene. Sluttresultatet er det samme, men smittespredningen tar lengre tid, slik at antall smittede spres over en lengre periode

Samme som 2, men her er det vegger som illustrerer en karantenesituasjon. Sluttresultatet er ganske likt som 2, men det tar lengre tid før smitten når menneskene og zombiene blir drept.

Disse modellene er enkle, men de gir et utgangspunkt for å studere sykdomsforløp med ulike tiltak.

Rom for feilslutninger

Når man diskuterer matematisk modellering, er det viktig å huske på George Box sitt berømte sitat «All models are wrong, but some are useful». Modellen er nyttig dersom den forklarer observerte data. Modellen er en formulering av de mekanismene vi tror styrer fenomenet, mens data forteller oss om vi er på villspor i forhold til virkeligheten. Det er derfor avgjørende at så mye data som mulig blir samlet inn og gjort tilgjengelig, og at dataene er korrekte.

I «The fifth Discipline Fieldbook» filosoferer Peter Senge over hvordan vi tolker observasjoner ut fra de modeller vi har om verden. Senge hevder at vi «ser» data som passer det vi leter etter. Vi tillegger data meninger vi allerede har og legger inn antagelser som bekrefter våre meninger. Det er altså rom for feilslutninger både i forhold til modelleringen, observasjonene og når vi sammenlikner data med modeller.

Mer testing kan gi et bedre bilde av smittespredningen

De offisielle smittetallene må derfor tolkes med en god modell som tar hensyn til usikkerhet i data, og er konsistent med data som beskriver hvordan smitten kom til Norge. De mest sikre data er antall døde og innlagte. Helsemyndighetene burde gjort enda mer utstrakt testing slik at man kunne fått et bedre bilde av smittespredningen i Norge.

I tillegg må vi passe på at vi ikke ser noe i dataene som ikke er der. I Debatten 17. mars ble en enkel modell projisert over utilstrekkelige data. Som demografen Malthus så forskeren Nyborg den eksponentielle katastrofen, og sosial isolasjon ble konklusjonen. Interessant nok var også dette Malthus sin slutning, bortsett fra at han advokerte kyskhet.

FHI benytter også en forenklet modell, men den tillater flere mekanismer enn uhemmet vekst. Denne modellen, som av epidemiologer ofte refererer til SEIR-modellen, tillater moderering av smittespredningen, og dette gir et rasjonelt grunnlag for det alternativet FHI har valgt som den langsiktige løsning: Flokkimmunitet med en viss kontroll på smitteutviklingen, altså brems-strategien.

At regjeringen nå ser ut til å velge en hardere strategi, kan tyde på at magefølelsen fremdeles spiller en rolle.

Les forskningen bak teksten:

Hans Petter Langtangen, Kent-Andre Mardal, and Pål Røtnes. Escaping the zombie threat by mathematics. Zombies in the Academy-Living Death in Higher Education, 2013

Joseph T. Wu, Kathy Leung, Mary Bushman, Nishant Kishore, Rene Niehus, “Estimating clinical severity of COVID-19 from the transmission dynamics in Wuhan, China”, Nature Medicine, 29 Feb, 2020

Wu, Joseph T., Kathy Leung, and Gabriel M. Leung. "Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study." The Lancet 395.10225 (2020): 689-697.

Malthus T. R. “An Essay on the Principle of Population as it affects the future improvement of society with remarks on the speculations of Mr. Goodwin, M. Condorchet and other writers.” J. Johnson, London 1798.

Senge P. M. The fifth discipline: the art and practice of the learning organization. Doubleday/Currency, 1990. ISBN 0-385-26094-6,